Негізгі бет

Алгебра 1

Course: Алгебра 1 > Unit 9

Lesson 1: Арифметикалық прогрессияға кіріспе.

Арифметикалық прогрессияның формулаларына кіріспе.

Арифметикалық прогрессияларының n-мүшесінің және рекуренттік формулалары негіздерін меңгер.

Осы сабаққа кіріспес бұрын, арифметикалық прогрессия негіздерін білетініңді және функцияның мәнін табу мен анықталу облысынан хабарың бар екеніне көз жеткіз.

Формуласы қандай?

Біз арифметикалық прогрессияны осылай сипаттауға дағдыланғанбыз:

3, 5, 7, …

Алайда, мұны істеудің басқа тәсілдері де бар. Бұл сабақта біз арифметикалық прогрессияны көрсетудің тағы екі әдісін қарастырамыз: рекурсивті формулалар және айқын формулалар арқылы. Бұл формулалар бізге прогрессияның кез келген мүшесін табуға көмектеседі.

Жалпы алғанда, формулаларда

n

-ді мүше нөмірін көрсету үшін, ал

a (n)

-ді

n^{}

-ші мүшені көрсету үшін қолданады. Мысалға, 3, 5, 7, ... арифметикалық прогрессияның алғашқы мүшелері

$n$ ‍	$a (n)$ ‍
(Мүше нөмірі)	( $n^{}$ ‍ -ші мүше)
$1$ ‍	$3$ ‍
$2$ ‍	$5$ ‍
$3$ ‍	$7$ ‍

Жоғарыда біз формулалар прогрессияның қажетті мәнін табуға мүмкіндік беретінін айттық. Біз мұны былай жаза аламыз: формула бізге кез келген $n$ ‍ үшін $a (n)$ ‍ - ды қалай табу керектігін айтады

Түсінгеніңізді тексеріңіз

1) 3, 5, 7, ... прогрессиясында

a (4)

тап

a (4) =

[Маған көмек керек!]

2) Кез келген $n$ ‍ мүше үшін, $a (n - 1)$ ‍ нені білдіреді?

[Маған көмек керек!]

Арифметикалық прогрессияның рекуррентті формулалары

Рекурренттік формула бізге 2 түрлі ақпарат береді:

Прогрессияның бірінші мүшесі
Кез-келген мүшені оның алдындағы мүшеден таба алатын ереже.

Мұнда 3, 5, 7,... прогрессиясы үшін реккурентті формула және әр бөліктің түсіндірмесі берілген.

{\begin{cases} a (1) = 3 & \leftarrow Бірінші мүше үшке тең. \\ a (n) = a (n - 1) + 2 & \leftarrow Алдынғы мүшесіне екіні қосамыз. \end{cases}

Мысалға, бесінші мүшені табу үшін біз тізбекті мүшелеп ұзарту керекпіз.

$a (n)$ ‍	$= a (n - 1) + 2$ ‍
$a (1)$ ‍			$= 3$ ‍
$a (2)$ ‍	$= a (1) + 2$ ‍	$= 3 + 2$ ‍	$= 5$ ‍
$a (3)$ ‍	$= a (2) + 2$ ‍	$= 5 + 2$ ‍	$= 7$ ‍
$a (4)$ ‍	$= a (3) + 2$ ‍	$= 7 + 2$ ‍	$= 9$ ‍
$a (5)$ ‍	$= a (4) + 2$ ‍	$= 9 + 2$ ‍	$= 11$ ‍

Керемет! Бұл формула бізге

3, 5, 7, …

тізбегімен сипатталғандай прогрессияны береді

Түсінгеніңізді тексеріңіз

Енді реккурентті формулаларды қолдана отырып, тізбектің мүшелерін тап.

3, 5, 7, ... прогрессиясында

a (n)

-ды

n^{}

-ыншы мүшені білдіру үшін қолданғандай, басқа да прогрессиялар үшін әртүрлі әріптерді қолдана аламыз. Мысалға, біз

b (n)

c (n)

, or

d (n)

-ды қолдана аламыз.

3) Берілген прогрессиядан $b (4)$ ‍-ті тап

{\begin{cases} b (1) = - 5 \\ b (n) = b (n - 1) + 9 \end{cases}

b (4) =

[Маған көмек керек!]

4) Берілген прогрессиядан $c (3)$ ‍-ті тап

{\begin{cases} c (1) = 20 \\ c (n) = c (n - 1) - 17 \end{cases}

c (3) =

[Маған көмек керек!]

Берілген прогрессиядан $d (5)$ ‍ - ті тап

{\begin{cases} d (1) = 2 \\ d (n) = d (n - 1) + 0.4 \end{cases}

d (5) =

[Маған көмек керек!]

Арифметикалық прогрессиялардың айқын формулалары

Бұл жерде 3, 5, 7, ... үшін айқын формула берілген

a (n) = 3 + 2 (n - 1)

Бұл формула жай ғана бізге керек мүшенің нөмірін орнына қою арқылы сол мүшенің мәнін табуға мүмкіндік береді.

Мысалға, бесінші мүшені табу үшін бізге

n = 5

-ті n-ші мүшесінің формуласына қою керек.

\begin{aligned} a (5) & = 3 + 2 (5 - 1) \\ = 3 + 2 \cdot 4 \\ = 3 + 8 \\ = 11 \end{aligned}

Тамаша! Біз бірдей жауап алдық!

Түсінгеніңізді тексеріңіз

6) $b (n) = - 5 + 9 (n - 1)$ ‍ арқылы берілген прогрессиядағы $b (10)$ ‍-ды тап.

b (10) =

[Маған көмек керек!]

7) $c (n) = 20 - 17 (n - 1)$ ‍ берілгені бойынша

c (8)

тап.

c (8) =

[Маған көмек керек!]

8) $d (n) = 2 + 0.4 (n - 1)$ ‍ берілгені бойынша

d (21)

тап

d (21) =

[Маған көмек керек!]

Прогрессиялар - бұл функциялар

Осы сабақта қолданған формулаларымыз функциялар ретінде жұмыс істейтінін ескер: Біз

n

мүше нөмірін енгіземіз, ал формула

a (n)

-ның мәнін шығарады.

Прогрессия, өз кезегінде, функция болып табылады. Бірақ

n

нақты сан бола алмайды. Себебі, прогрессиясының теріс бесінші мүшесі немесе 0,4 -ші мүшесі жоқ.

Яғни, прогрессияның анықтау облысы - бұл функция қабылдайтын оң сандар.

Назар аудар!

Мысалға, біз төртінші мүшені білдіру үшін

a (4)

-ті қолданған болатынбыз, бірақ кейбір жерлерде

a_{4}

түрінде кездесуі мүмкін.

Екі жазбаны да қолдануға болады. Біз негізінен

a (4)

қолданамыз, өйткені прогрессия - бұл функция.

Ойлануға арналған сұрақ

9) Арифметикалық прогресияның 100-ші мүшесін тезірек табу үшін қай формула ыңғайлы?

[Маған көмек керек!]

Қиын сұрақ

10) Арифметикалық прогрессияның айқын формуласы:

f (n) = 3 - 4 (n - 1)

Прогрессияның қай мүшесі -65 - ке тең?

Нөмірі

[Маған көмек керек!]

Талқылауға қосылғыңыз келе ме?

Кіру

Сұрыптау:

Әзірге посттар жоқ.

Ағылшынша түсінесің бе? Ағылшын тіліндегі Khan Academy сайтында қандай талқылау болып жатқанын білу үшін мына жерге бас.