If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Егер веб фильтрлерін қолдансаң, *.kastatic.org мен *.kasandbox.org домендері бұғатталмағанын тексер.

Негізгі бет

Factoring quadratics: leading coefficient ≠ 1

Learn how to factor quadratic expressions as the product of two linear binomials. For example, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Бұл сабақты бастамас бұрын не білуіңіз керек

Топтастыру әдісі арқылы 4 мүшелі көпмүшелердің ортақ көбейткішін сыртқа шығарып, көбейткіштерге жіктеуге болады. Егер бұл тақырыппен таныс болмасаңыз біздің топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеуге кіріспе сабағын қарай аласыз.
Жалғастырмас бұрын алғашқы коэффициенті 1-ге тең квадраттың теңдеулерді көбейткіштерге жіктеу тақырыбымен танысуға кеңес береміз.

Бұл сабақта нені үйренесің

Осы сабақта 2x2+7x+3 сияқты алғашқы коэффициенті 1-ге тең емес квадраттық теңдеулерді топтастыру әдісі арқылы көбейткіштерге жіктеуді үйренеміз.

1-мысал: 2x2+7x+3 өрнегін көбейткіштерге жіктеу.

(2x2+7x+3) -өрнегінің алғашқы коэффициенті 2-ге тең болғандықтан, осы квадраттық өрнекті көбейткіштерге жіктеуде қосылғыштарды көбейткіштерге жіктеу әдісін қолдана алмаймыз.
2x2+7x+3 өрнегін көбейткіштерге жіктеместен бұрын, көбейтіндісі 23=6 (алғашқы коэффициент пен тұрақты шама) сандарының көбейтіндісі сияқты және қосындысы 7-ге (x-тың коэффициенті) тең болатындай екі бүтін сан табуымыз керек.
16=6 және 1+6=7 болғандықтан екі санды 1 және 6 деп ала аламыз.
Осы екі сан арқылы бастапқы теңдеудегі x-мүшесін қалай бөліп жаза алатынымызды білеміз. Яғни көпмүшемізді 2x2+7x+3=2x2+1x+6x+3 түріне келтіріп жаза аламыз.
Енді көпмүшемізді топтастыру әдісі арқылы көбейткіштерге жіктей аламыз:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)Мүшелерді топтаймыз=x(2x+1)+3(2x+1)Ең үлкен ортақ көбейткіштерді жақшаның сыртына шығарамыз=x(2x+1)+3(2x+1)Ортақ көбейткіш!=(2x+1)(x+3) 2x+1ді жақшаның сыртына шығарамыз
The factored form is (2x+1)(x+3).
We can check our work by showing that the factors multiply back to 2x2+7x+3.


In general, we can use the following steps to factor a quadratic of the form ax2+bx+c:
  1. Start by finding two numbers that multiply to ac and add to b.
  2. Use these numbers to split up the x-term.
  3. Use grouping to factor the quadratic expression.

Тақырып бойынша біліміңді тексер

1) Factor 3x2+10x+8.
Дұрыс жауапты таңдаңыз:

2) Factor 4x2+16x+15.

Example 2: Factoring 6x25x4

To factor 6x25x4, we need to find two integers with a product of 6(4)=24 and a sum of 5.
Since 3(8)=24 and 3+(8)=5, the numbers are 3 and 8.
We can now write the term 5x as the sum of 3x and 8x and use grouping to factor the polynomial:
= 6x2+3x8x4(1)=(6x2+3x)+(8x4)Group terms(2)=3x(2x+1)+(4)(2x+1)Factor out GCFs(3)=3x(2x+1)4(2x+1)Simplify(4)=3x(2x+1)4(2x+1)Common factor!(5)=(2x+1)(3x4)Factor out 2x+1
The factored form is (2x+1)(3x4).
We can check our work by showing that the factors multiply back to 6x25x4.
Take note: In step (1) above, notice that because the third term is negative, a "+" was inserted between the groupings to keep the expression equivalent to the original. Also, in step (2), we needed to factor out a negative GCF from the second grouping to reveal a common factor of 2x+1. Be careful with your signs!

Тақырып бойынша біліміңді тексер

3) Factor 2x23x9.
Дұрыс жауапты таңдаңыз:

4) Factor 3x22x5.

5) Factor 6x213x+6.

When is this method useful?

Well, clearly, the method is useful to factor quadratics of the form ax2+bx+c, even when a1.
However, it's not always possible to factor a quadratic expression of this form using our method.
For example, let's take the expression 2x2+2x+1. To factor it, we need to find two integers with a product of 21=2 and a sum of 2. Try as you might, you will not find two such integers.
Therefore, our method doesn't work for 2x2+2x+1, and for a bunch of other quadratic expressions.
It's useful to remember, however, that if this method doesn't work, it means the expression cannot be factored as (Ax+B)(Cx+D) where A, B, C, and D are integers.

Why is this method working?

Let's take a deep dive into why this method is at all successful. We will have to use a bunch of letters here, but please bear with us!
Suppose the general quadratic expression ax2+bx+c can be factored as (Ax+B)(Cx+D) with integers A, B, C, and D.
When we expand the parentheses, we obtain the quadratic expression (AC)x2+(BC+AD)x+BD.
Since this expression is equivalent to ax2+bx+c, the corresponding coefficients in the two expressions must be equal! This gives us the following relationship between all the unknown letters:
Now, let's define m=BC and n=AD.
According to this definition...
  • m+n=BC+AD=b, and
  • mn=(BC)(AD)=(AC)(BD)=ac.
And so BC and AD are the two integers we are always looking for when we use this factorization method!
The next step in the method after finding m and n is to split the x-coefficient (b) according to m and n and factor using grouping.
Indeed, if we split the x-term (BC+AD)x into (BC)x+(AD)x, we will be able to use grouping to factor our expression back into (Ax+B)(Cx+D).
In conclusion, in this section we...
  • started with the general expanded expression ax2+bx+c and its general factorization (Ax+B)(Cx+D),
  • were able to find two numbers, m and n, such that mn=ac and m+n=b (we did so by defining m=BC and n=AD),
  • split the x-term bx into mx+nx, and were able to factor the expanded expression back into (Ax+B)(Cx+D).
This process shows why, if an expression can indeed be factored as (Ax+B)(Cx+D), our method will ensure that we find this factorization.
Thanks for pulling through!