Негізгі бет

Алгебра 1

Course: Алгебра 1 > Unit 13

Lesson 5: Factoring quadratics by grouping

Factoring quadratics: leading coefficient ≠ 1

Learn how to factor quadratic expressions as the product of two linear binomials. For example, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Бұл сабақты бастамас бұрын не білуіңіз керек

Топтастыру әдісі арқылы

4

мүшелі көпмүшелердің ортақ көбейткішін сыртқа шығарып, көбейткіштерге жіктеуге болады. Егер бұл тақырыппен таныс болмасаңыз біздің топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктеуге кіріспе сабағын қарай аласыз.

Жалғастырмас бұрын алғашқы коэффициенті 1-ге тең квадраттың теңдеулерді көбейткіштерге жіктеу тақырыбымен танысуға кеңес береміз.

Бұл сабақта нені үйренесің

Осы сабақта

2 x^{2} + 7 x + 3

сияқты алғашқы коэффициенті

1

-ге тең емес квадраттық теңдеулерді топтастыру әдісі арқылы көбейткіштерге жіктеуді үйренеміз.

1-мысал: $2 x^{2} + 7 x + 3$ ‍ өрнегін көбейткіштерге жіктеу.

(2 x^{2} + 7 x + 3)

-өрнегінің алғашқы коэффициенті

2

-ге тең болғандықтан, осы квадраттық өрнекті көбейткіштерге жіктеуде қосылғыштарды көбейткіштерге жіктеу әдісін қолдана алмаймыз.

2 x^{2} + 7 x + 3

өрнегін көбейткіштерге жіктеместен бұрын, көбейтіндісі

2 \cdot 3 = 6

(алғашқы коэффициент пен тұрақты шама) сандарының көбейтіндісі сияқты және қосындысы

7

-ге (

x

-тың коэффициенті) тең болатындай екі бүтін сан табуымыз керек.

1 \cdot 6 = 6

және

1 + 6 = 7

болғандықтан екі санды

1

және

6

деп ала аламыз.

[How do we find these numbers?]

Осы екі сан арқылы бастапқы теңдеудегі

x

-мүшесін қалай бөліп жаза алатынымызды білеміз. Яғни көпмүшемізді

2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

түріне келтіріп жаза аламыз.

Енді көпмүшемізді топтастыру әдісі арқылы көбейткіштерге жіктей аламыз:

\begin{aligned} 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3 \\ = (2 x^{2} + 1 x) + (6 x + 3) & Мүшелерді топтаймыз \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & Ең үлкен ортақ көбейткіштерді жақшаның сыртына шығарамыз \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & Ортақ көбейткіш! \\ = (2 x + 1) (x + 3) & 2 x + 1 - д і жақшаның сыртына шығарамыз \end{aligned}

The factored form is

(2 x + 1) (x + 3)

[What if we grouped the polynomial in a different order?]

We can check our work by showing that the factors multiply back to

2 x^{2} + 7 x + 3

[I'd like to see this, please!]

Summary

In general, we can use the following steps to factor a quadratic of the form

a x^{2} + b x + c

Start by finding two numbers that multiply to $a c$ ‍ and add to $b$ ‍.
Use these numbers to split up the $x$ ‍-term.
Use grouping to factor the quadratic expression.

Тақырып бойынша біліміңді тексер

1) Factor $3 x^{2} + 10 x + 8$ ‍.

[Маған көмек керек!]

2) Factor $4 x^{2} + 16 x + 15$ ‍.

[Маған көмек керек!]

Example 2: Factoring $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍

To factor

6 x^{2} - 5 x - 4

, we need to find two integers with a product of

6 \cdot (- 4) = - 24

and a sum of

- 5

Since

3 \cdot (- 8) = - 24

and

3 + (- 8) = - 5

, the numbers are

3

and

- 8

[How can I find these numbers?]

We can now write the term

- 5 x

as the sum of

3 x

and

- 8 x

and use grouping to factor the polynomial:

$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x - 8 x - 4 \\ (1) & = (6 x^{2} + 3 x) + (- 8 x - 4) & Group terms \\ (2) & = 3 x (2 x + 1) + (- 4) (2 x + 1) & Factor out GCFs \\ (3) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & Simplify \\ (4) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & Common factor! \\ (5) & = (2 x + 1) (3 x - 4) & Factor out 2 x + 1 \end{aligned}$ ‍

The factored form is

(2 x + 1) (3 x - 4)

We can check our work by showing that the factors multiply back to

6 x^{2} - 5 x - 4

[I'd like to see this, please!]

Take note: In step

(1)

above, notice that because the third term is negative, a "+" was inserted between the groupings to keep the expression equivalent to the original. Also, in step

(2)

, we needed to factor out a negative GCF from the second grouping to reveal a common factor of

2 x + 1

. Be careful with your signs!

Тақырып бойынша біліміңді тексер

3) Factor $2 x^{2} - 3 x - 9$ ‍.

[Маған көмек керек!]

4) Factor $3 x^{2} - 2 x - 5$ ‍.

[Маған көмек керек!]

5) Factor $6 x^{2} - 13 x + 6$ ‍.

[Маған көмек керек!]

When is this method useful?

Well, clearly, the method is useful to factor quadratics of the form

a x^{2} + b x + c

, even when

a \neq 1

However, it's not always possible to factor a quadratic expression of this form using our method.

For example, let's take the expression

2 x^{2} + 2 x + 1

. To factor it, we need to find two integers with a product of

2 \cdot 1 = 2

and a sum of

2

. Try as you might, you will not find two such integers.

Therefore, our method doesn't work for

2 x^{2} + 2 x + 1

, and for a bunch of other quadratic expressions.

It's useful to remember, however, that if this method doesn't work, it means the expression cannot be factored as

(A x + B) (C x + D)

where

A

B

C

, and

D

are integers.

Why is this method working?

Let's take a deep dive into why this method is at all successful. We will have to use a bunch of letters here, but please bear with us!

Suppose the general quadratic expression

a x^{2} + b x + c

can be factored as

(A x + B) (C x + D)

with integers

A

B

C

, and

D

When we expand the parentheses, we obtain the quadratic expression

(A C) x^{2} + (B C + A D) x + B D

[I want to see the entire expansion process!]

Since this expression is equivalent to

a x^{2} + b x + c

, the corresponding coefficients in the two expressions must be equal! This gives us the following relationship between all the unknown letters:

Now, let's define

m = B C

and

n = A D

According to this definition...

$m + n = B C + A D = b$ ‍, and
$m \cdot n = (B C) (A D) = (A C) (B D) = a \cdot c$ ‍.

And so

B C

and

A D

are the two integers we are always looking for when we use this factorization method!

The next step in the method after finding

m

and

n

is to split the

x

-coefficient

(b)

according to

m

and

n

and factor using grouping.

Indeed, if we split the

x

-term

(B C + A D) x

into

(B C) x + (A D) x

, we will be able to use grouping to factor our expression back into

(A x + B) (C x + D)

[I'd like to see this, please!]

In conclusion, in this section we...

started with the general expanded expression $a x^{2} + b x + c$ ‍ and its general factorization $(A x + B) (C x + D)$ ‍,
were able to find two numbers, $m$ ‍ and $n$ ‍, such that $m n = a c$ ‍ and $m + n = b$ ‍ $($ ‍we did so by defining $m = B C$ ‍ and $n = A D)$ ‍,
split the $x$ ‍-term $b x$ ‍ into $m x + n x$ ‍, and were able to factor the expanded expression back into $(A x + B) (C x + D)$ ‍.

This process shows why, if an expression can indeed be factored as

(A x + B) (C x + D)

, our method will ensure that we find this factorization.

Thanks for pulling through!

Талқылауға қосылғыңыз келе ме?

Кіру

Сұрыптау:

Әзірге посттар жоқ.

Ағылшынша түсінесің бе? Ағылшын тіліндегі Khan Academy сайтында қандай талқылау болып жатқанын білу үшін мына жерге бас.

Алгебра 1

Course: Алгебра 1 > Unit 13

Бұл сабақты бастамас бұрын не білуіңіз керек

Бұл сабақта нені үйренесің

1-мысал: 2x2+7x+3‍ өрнегін көбейткіштерге жіктеу.

Summary

Тақырып бойынша біліміңді тексер

Example 2: Factoring 6x2−5x−4‍

Тақырып бойынша біліміңді тексер

When is this method useful?

Why is this method working?

Талқылауға қосылғыңыз келе ме?

1-мысал: $2 x^{2} + 7 x + 3$ ‍ өрнегін көбейткіштерге жіктеу.

Example 2: Factoring $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍