Негізгі бет

Course: Алгебра негіздері > Unit 7

Lesson 4: Ортақ бөлгішті шығару арқылы көпмүшелерді жақшаларға жіктеу

Factoring polynomials by taking a common factor

Learn how to factor a common factor out of a polynomial expression. For example, factor 6x²+10x as 2x(3x+5).

Бұл сабақты бастамас бұрын келесі тақырыппен таныс болуыңыз керек

екі немесе одан көп бірмүшелердің ЕҮОБ (ең үлкен ортақ бөлгіші) дегеніміз олардың барлық ортақ жай көбейткіштерінің көбейтіндісі. Мысалы,

6 x

және

4 x^{2}

-тың ЕҮОБ-і

2 x

-ке тең.

Егер бұл тақырыпты білмесеңіз, онда көпмүшелердің ең үлкен ортақ бөлгішін қарап көріңіз.

Бұл сабақта нені үйренесің

Бұл сабақта көпмүшеден ортақ көбейткішті жақша сыртына шығаруды үйренесіз

Үлестірімділік қасиеті: $a (b + c) = a b + a c$ ‍

Ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару үшін біз көбейтудің үлестірімділік қасиетін түсінуіміз керек.

Мысалы,

3 x^{2}

және

4 x + 3

көбейтіндісіне үлестірімділік қасиетті қолданайық:

Әрбір екімүше жалпы коэффициент

3 x^{2}

-ке қалай көбейтілгеніне назар аударыңыз.

Алайда, үлестірімділік қасиет теңдік жағдайында орындалады, яғни теңдіктің оң жағы да орындалады!

Егер біз

3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} (3)

-тен бастасақ,

3 x^{2}

-ті алып тастап және

3 x^{2} (4 x + 3)

-ті алу үшін біз үлестірімділік қасиетті қолдана аламыз.

Алынған өрнек көбейткіштерге жіктелген, себебі ол екі көпмүшенің көбейтіндісі ретінде жазылған, ал бастапқы өрнек екі бірмүшенің қосындысы.

Түсінгеніңізді тексеріңіз

1) $2 x (3 x) + 2 x (5)$ ‍-ті көбейткіштерге жіктеңіз.

Ең үлкен ортақ көбейткішті(ЕҮОК) көбейткіштерге жіктеу

Көпмүшеден ЕҮОБ-ті жақша сыртына шығару үшін келесі әрекеттерді орындау керек:

Көпмүшенің барлық мүшелерінің ЕҮОБ-ін табу.
Әр мүшені ЕҮОБ пен басқа көбейткіштің көбейтіндісі түрінде көрсету.
ЕҮОБ-ті жақша сыртына шығару үшін үлестірімділік қасиетті пайдалану.

2 x^{3} - 6 x^{2}

ЕҮОБ-ін бөліп алайық.

1 -қадам: ЕҮОБ-ті табыңыз

$2 x^{3} = 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍

Сонымен

2 x^{3} - 6 x^{2}

-нің ЕҮОБ-сы

2 \cdot x \cdot x = 2 x^{2}

2 -қадам: Әр мүшені $2 x^{2}$ ‍ -нің және басқа көбейткіштің туындысы ретінде көрсетіңіз.

$2 x^{3} = (2 x^{2}) (x)$ ‍
$6 x^{2} = (2 x^{2}) (3)$ ‍

Осылайша, көпмүшені

2 x^{3} - 6 x^{2} = (2 x^{2}) (x) - (2 x^{2}) (3)

түрінде жазуға болады.

3 -қадам: ЕҮОБ-ті жақша сыртына шығарыңыз

2 x^{2}

-ты жақшаның сыртына шығару үшін, үлестірімділік қасиетін қолдана аламыз.

Нәтижені тексеру

Біз

2 x^{2}

-ты көбейткішке көбейту арқылы жауабымыздың дұрыстығын тексере аламыз.

Бұл бастапқы көпмүшемен бірдей, яғни жақша сыртына шығарғанымыз дұрыс!

Түсінгеніңізді тексеріңіз

2) $12 x^{2} + 18 x$ ‍ -тің ең үлкен ортақ бөлгішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

1 -қадам: ЕҮОБ-ті табыңыз

$12 x^{2} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍
$18 x = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot x$ ‍

So the GCF of

12 x^{2} + 18 x

2 \cdot 3 \cdot x

6 x

Step 2: Express each term as a product of $6 x$ ‍ and another factor.

$12 x^{2} = (6 x) (2 x)$ ‍
$18 x = (6 x) (3)$ ‍

The polynomial can be written as

12 x^{2} + 18 x = (6 x) (2 x) + (6 x) (3)

3 -қадам: ЕҮОБ-ті жақша сыртына шығарыңыз

Now we can apply the distributive property to factor out

6 x

In conclusion, the result of factoring the GCF out of $12 x^{2} + 18 x$ ‍ is $6 x (2 x + 3)$ ‍.

3) Мына көпмүшенің ең үлкен ортақ бөлгішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

10 x^{2} + 25 x + 15 =

1 -қадам: ЕҮОБ-ті табыңыз

$10 x^{2} = 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x$ ‍
$25 x = 5 \cdot 5 \cdot x$ ‍
$15 = 3 \cdot 5$ ‍

So the GCF of

10 x^{2} + 25 x + 15

5

Step 2: Express each term as a product of $5$ ‍ and another factor.

$10 x^{2} = (5) (2 x^{2})$ ‍
$25 x = (5) (5 x)$ ‍
$15 = (5) (3)$ ‍

The polynomial can be written as

10 x^{2} + 25 x + 15 = (5) (2 x^{2}) + (5) (5 x) + (5) (3)

3 -қадам: ЕҮОБ-ті жақша сыртына шығарыңыз

Now we can apply the distributive property to factor out

5

In conclusion, the result of factoring the GCF out of $10 x^{2} + 25 x + 15$ ‍ is $5 (2 x^{2} + 5 x + 3)$ ‍.

4) Мына көпмүшенің ең үлкен ортақ бөлгішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2} =

1 -қадам: ЕҮОБ-ті табыңыз

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$8 x^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$x^{2} = x \cdot x$ ‍

So the GCF of

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2}

x \cdot x

x^{2}

Step 2: Express each term as a product of $x^{2}$ ‍ and another factor.

$x^{4} = (x^{2}) (x^{2})$ ‍
$8 x^{3} = (x^{2}) (8 x)$ ‍
$x^{2} = (x^{2}) (1)$ ‍

The polynomial can be written as

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2} = (x^{2}) (x^{2}) - (x^{2}) (8 x) + (x^{2}) (1)

3 -қадам: ЕҮОБ-ті жақша сыртына шығарыңыз

Now we can apply the distributive property to factor out

x^{2}

In conclusion, the resulting of factoring the GCF out of $x^{4} + 8 x^{3} + x^{2}$ ‍ is $x^{2} (x^{2} - 8 x + 1)$ ‍.

Басқа тиімдірек жолы бар ма?

Егер ЕҮОБ-ті жақшаның сыртына шығару ыңғайлы болса, одан да жылдамырақ әдісті қолданайық:

Once we know the GCF, the factored form is simply the product of that GCF and the sum of the terms in the original polynomial divided by the GCF.

Мысалға назар аударайық, ЕҮОБ

5 x

болатын

5 x^{2} + 10 x

- ті көбейткіштерге жіктеу үшін жылдам әдісті қалай қолдануға болады:

$5 x^{2} + 10 x = 5 x (\frac{5 x^{2}}{5 x} + \frac{10 x}{5 x}) = 5 x (x + 2)$ ‍

Биномиалдық көбейткіштерге жуктеу

Көпмүшенің ортақ көбейткіші міндетті түрде бірмүше болуы шарт емес.

Мысалы,

x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1)

көпмүшесін қарастырайық.

2 x - 1

биномиалы екеуіне ортақ екеніне назар аударайық. Мұнда үлестірімділік қасиетті қолданып, көбейткіштерге жіктей аламыз :

Түсінгеніңізді тексеріңіз

5) Мына көпмүшенің ең үлкен ортақ бөлгішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

2 x (x + 3) + 5 (x + 3) =

Көбейткіштерге жіктеудің түрлері

Біз бірнеше түрлі процестерді сипаттау үшін "жіктеу" терминін қолданған сияқтымыз:

Біз бірмүшелерді басқа бірмүшелердің көбейтіндісі ретінде жаздық. Мысалы, $12 x^{2} = (4 x) (3 x)$ ‍.
Біз көпмүшеліктің ЕҮОБ-ін тауып, үлестірімділік қасиетін қолдана отырып жіктедік. Мысалы, $2 x^{2} + 12 x = 2 x (x + 6)$ ‍.
We factored out common binomial factors which resulted in an expression equal to the product of two binomials. For example $x (x + 1) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x + 2)$ ‍.

While we may have used different techniques, in each case we are writing the polynomial as a product of two or more factors. So in all three examples, we indeed factored the polynomial.

Күрделі есептер

6*) Мына көпмүшенің ең үлкен ортақ бөлгішін жақшаның сыртына шығарыңыз.

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2} =

1 -қадам: ЕҮОБ-ті табыңыз

$12 x^{2} y^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y$ ‍
$30 x^{4} y^{2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y$ ‍

So the GCF of

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2}

6 x^{2} y^{2}

Step 2: Express each term as a product of $6 x^{2} y^{2}$ ‍ and another factor.

$12 x^{2} y^{5} = (6 x^{2} y^{2}) (2 y^{3})$ ‍
$30 x^{4} y^{2} = (6 x^{2} y^{2}) (5 x^{2})$ ‍

The polynomial can be written as

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2} = (6 x^{2} y^{2}) (2 y^{3}) - (6 x^{2} y^{2}) (5 x^{2})

3 -қадам: ЕҮОБ-ті жақша сыртына шығарыңыз

Now we can apply the distributive property to factor out

6 x^{2} y^{2}

We write the factored polynomial as

6 x^{2} y^{2} (2 y^{3} - 5 x^{2})

7*)

14 x^{4} + 6 x^{2}

шаршы метрлік үлкен төртбұрыш

14 x^{4}

және

6 x^{2}

шаршы метрлік екі кіші төртбұрышқа бөлінген.

Тіктөртбұрыштың ені (метрмен)

14 x^{4}

мен

6 x^{2}

-тың ең үлкен ортақ бөлгішіне тең.

Үлкен тіктөртбұрыштың ұзындығы мен енін табыңыз.

Ені =

метр

Ұзындығы =

метр

We know that the width of the rectangle is equal to the greatest common factor of

14 x^{4}

and

6 x^{2}

. Let's find this factor!

$14 x^{4} = 2 \cdot 7 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍

Since the GCF is

2 x^{2}

, the width of the rectangle is

2 x^{2}

We can find the length of the large rectangle by finding the lengths of the two smaller rectangles. We will do that by using the area formula

A = (l) (w)

(Area = Length \times Width)

and the fact that

w = 2 x^{2}

$\begin{aligned} The 14 x^{4} Rectangle \\ 14 x^{4} = (l) (2 x^{2}) \\ \frac{14 x^{4}}{2 x^{2}} = l \\ 7 x^{2} = l \end{aligned}$ ‍ $\begin{aligned} The 6 x^{2} Rectangle \\ 6 x^{2} = (l) (2 x^{2}) \\ \frac{6 x^{2}}{2 x^{2}} = l \\ 3 = l \end{aligned}$ ‍

We can combine these lengths to find that the length of the large rectangle is

7 x^{2} + 3

Note that we would have gotten the same result if we just factored

2 x^{2}

out of the area of the large rectangle,

14 x^{4} + 6 x^{2}

$\begin{aligned} 14 x^{4} + 6 x^{2} & = (2 x^{2}) (7 x^{2}) + (2 x^{2}) (3) \\ = 2 x^{2} (7 x^{2} + 3) \end{aligned}$ ‍

Either way, we see that the length of the large rectangle is $7 x^{2} + 3$ ‍ meters.

Талқылауға қосылғыңыз келе ме?

Кіру

Сұрыптау:

Әзірге посттар жоқ.

Ағылшынша түсінесің бе? Ағылшын тіліндегі Khan Academy сайтында қандай талқылау болып жатқанын білу үшін мына жерге бас.

Алгебра негіздері

Course: Алгебра негіздері > Unit 7

Бұл сабақты бастамас бұрын келесі тақырыппен таныс болуыңыз керек

Бұл сабақта нені үйренесің

Үлестірімділік қасиеті: a(b+c)=ab+ac‍

Түсінгеніңізді тексеріңіз

Ең үлкен ортақ көбейткішті(ЕҮОК) көбейткіштерге жіктеу

Түсінгеніңізді тексеріңіз

Басқа тиімдірек жолы бар ма?

Биномиалдық көбейткіштерге жуктеу

Түсінгеніңізді тексеріңіз

Көбейткіштерге жіктеудің түрлері

Күрделі есептер

Талқылауға қосылғыңыз келе ме?

Үлестірімділік қасиеті: $a (b + c) = a b + a c$ ‍