Кері функцияларға кіріспе

Кері функция - берілген функцияға тән тәуелділікті кері өрнектейтін функция.

Мысалы, мұнда біз $f$‍ функциясы $1$‍-ді $x$‍-ке, $2$‍-ні $z$‍-ке түрлендіретінін көреміз.

$f^{-1}$‍ функциясы $f$‍-ке кері функция және ол бұл суретті кері өзгертеді. $f^{-1}$‍ функциясы $x$‍-ті $1$‍-ге, $y$‍-ті $3$‍-ке және $z$‍-ті $2$‍-ге түрлендіреді.

Жалпы айтқанда, егер $f$‍ функциясын $a$‍-ны $b$‍-ға түрлендірсе , онда оның кері функциясы, $f^{-1}$‍, $b$‍-ны $a$‍-ға түрлендіреді.

Бұл кері функцияның жалпылама анықтамасы.

Төмендегі мысалдар арқылы кері функцияның анықтамасына тереңірек үңілейік.

$h$‍ функциясын диаграмма арқылы қарастырайық. $h^{-1}(9)$‍ функциясы неге тең?

Бізге $h$‍ функциясы туралы ақпарат берілген және біз $h^{-1}$‍ функциясы туралы сұраққа жауап беруіміз керек. Кері функция мәндерді кері өзгертетіндіктен, біз де кері бағытта ойлауымыз керек.

Нақтырақ айтқанда, $h^{-1}(9)$‍ функциясының мәнін табу үшін біз мәні $9$‍ болатындай $h$‍ функциясына енгізілген айнымалыны таба аламыз. Себебі, егер $h^{-1}(9)=x$‍, онда кері функцияның анықтамасы бойынша, $h(x)=9$‍.

Диаграммадан біз $h(6)=9$‍ екенін көре аламыз, сондықтан $h^{-1}(9)=6$‍.

Бұл $g$‍ функциясының графигінен $g^{-1}(-7)$‍ функциясының мәнін тауып көрейік.

$g^{-1}(-7)$‍ функциясының мәнін табу үшін біз мәні $-7$‍-ге тең болатындай $g$‍ функциясына енгізілген айнымалыны таба аламыз. Себебі, егер $g^{-1}(-7)=x$‍ болса, онда кері функцияның анықтамасы бойынша, $g(x)=-7$‍.

График арқылы біз $g(-3)=-7$‍ екенін көре аламыз.

Сондықтан $g^{-1}(-7)=-3$‍.

Жоғарыдағы мысалдар кері функцияның алгебралық байланысын көрсетеді, бірақ олардың графиктік байланысын құрастыруға да болады.

Графикте және кестеде берілген $f$‍ функциясын қарастырайық.

$f$‍ функциясының айнымалылары мен мәндерін ауыстыру арқылы $f^{-1}$‍ функциясының мәндері мен айнымалыларын табуға болады. Сондықтан, егер $(a,b)$‍ нүктесі $y=f(x)$‍ графигінде жатса, онда $(b,a)$‍ нүктесі $y=f^{-1}(x)$‍ графигінде жатады.

Бұл бізге $f^{-1}$‍ функциясының төменде көрсетілгендей графигі мен кестесін береді.

График пен кестені бірге қарастырсақ, біз $y=f(x)$‍ және $y=f^{-1}(x)$‍ функциялары бір-бірінің $y=x$‍ осіндегі шағылысуынан пайда болатынын көреміз.

Бұл барлық мысалдар үшін орындалады; кері функция негізгі функцияның $y=x$‍ осімен шағылысуы арқылы пайда болады.

Кері функциялар туралы оқуға қызығу негізсіз болып көрінуі мүмкін, бірақ шын мәнінде біз оларды әрдайым қолданамыз.

$C={\displaystyle \frac{5}{9}}(F-32)$‍ функциясы Фаренгейт($F$‍) жүйесіндегі температураны Цельсийге($C$‍) айналдыруға көмектеседі.

Бірақ, бізге жоғарыдағының кері функциясы – Цельсий шкаласындағы температураны Фаренгейтке айналдыру керек деп елестетейік. Бұл жағдайда бізге $F={\displaystyle \frac{9}{5}}C+32$‍ функциясы, басқаша айтқанда кері функция қажет.

Қарапайым сөзбен айтқанда, көптеген теңдеулерді біз "айнымалыларды ықшамдау" арқылы шығарамыз. Айнымалыны оқшаулағанда, оның айналасындағы шамалар өзгеріске ұшырайды. Осылайша, біз кері функция идеясын теңдеулерді шешуге қолданамыз.