Негізгі бет

Алгебра 1

Course: Алгебра 1 > Unit 9

Lesson 2: Арифметикалық прогрессияларды құру

Арифметикалық прогрессияның n-мүшесінің формуласы.

Арифметикалық прогрессияның n-мүшесінің формуласын табуды үйрен. Мысалы, 3, 5, 7,... тізбегінің n-мүшесінің формуласын анықта.

Осы сабақты өтуден бұрын, арифметикалық прогрессия формулаларының негіздерімен таныс екеніңе көз жеткіз.

Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы қалай жұмыс істейді

3, 5, 7, …

прогрессиясының n-ші мүшесінің формуласы мынадай болады:

$a (n) = 3 + 2 (n - 1)$ ‍

Формулада

n

дегеніміз қандай да бір мүшенің нөмірі, ал

a (n)

дегеніміз

n -ші

мүше.

Бұл формула жай ғана бізге керек мүшенің нөмірін орнына қою арқылы сол мүшенің мәнін табуға мүмкіндік береді.

Мысалға, бесінші мүшені табу үшін бізге

n = 5

-ті n-ші мүшесінің формуласына қою керек.

$\begin{aligned} a (5) & = 3 + 2 (5 - 1) \\ = 3 + 2 \cdot 4 \\ = 3 + 8 \\ = 11 \end{aligned}$ ‍

Керемет! Бұл шын мәнінде

3, 5, 7, …

прогрессиясының бесінші мүшесі болып табылады.

Түсінгеніңізді тексеріңіз

1) $b (n) = - 5 + 9 (n - 1)$ ‍ арқылы берілген прогрессиядағы $b (10)$ ‍-ды тап.

b (10) =

[Маған көмек керек!]

n-ші мүшесінің формуласын жазу

5, 8, 11, …

арифметикалық прогрессиясын қарастырайық. Прогрессияның бірінші мүшесі

5

-ке және айырымы

3

-ке тең.

Бірінші мүшесі

5

-ке тең прогрессияға айырымын, яғни

3

-ті қайталап қосу арқылы біз прогрессияның кез-келген мүшесін таба аламыз. Мысал ретінде алғашқы бірнеше мүшенің қалай есептелгенін қарап көр.

$n$ ‍	$n -ші$ ‍ мүшені есептеу
$1$ ‍	$5$ ‍	$= 5 + 0 \cdot 3 = 5$ ‍
$2$ ‍	$5 + 3$ ‍	$= 5 + 1 \cdot 3 = 8$ ‍
$3$ ‍	$5 + 3 + 3$ ‍	$= 5 + 2 \cdot 3 = 11$ ‍
$4$ ‍	$5 + 3 + 3 + 3$ ‍	$= 5 + 3 \cdot 3 = 14$ ‍
$5$ ‍	$5 + 3 + 3 + 3 + 3$ ‍	$= 5 + 4 \cdot 3 = 17$ ‍

Кестеде біз бірінші мүше

5

-ке, прогрессияның айырымын, яғни

3

-ті

n - 1

рет қайталап қосқанда

n -ші

мүшені (мұндағы

n

кез-келген мүшенің нөмірі) таба алатынымыз көрсетілген. Бұл алгебралық түрде

5 + 3 (n - 1)

болып жазыла алады.

Жалпылай, мынау бірінші мүшесі $A$ ‍-ға тең, ал айырымы $B$ ‍-ға тең болатын арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің жалпы формуласы:

$A + B (n - 1)$ ‍

Тақырып бойынша біліміңді тексер

2) $2, 9, 16, …$ ‍ прогрессиясының n-ші мүшесінің формуласын жаз

d (n) =

[Маған көмек керек!]

3) $9, 5, 1, …$ ‍ прогрессиясының n-ші мүшесінің формуласын жаз

e (n) =

[Маған көмек керек!]

4) Прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы

f (n) = - 6 + 2 (n - 1)

-ге тең.

Прогрессияның бірінші мүшесі неге тең?

Айырымы неге тең?

[Маған көмек керек!]

n-ші мүшесінің формуласына эквивалентті формулалар

n-ші мүшесінің формулалары көптеген формаларда келе алады.

Мысалы, келесілердің барлығы

3, 5, 7, …

прогрессиясының n-ші мүшесінің формулалары болып табылады.

$3 + 2 (n - 1)$ ‍ (бұл жалпы формула)
$1 + 2 n$ ‍
$5 + 2 (n - 2)$ ‍

Формулалар әртүрлі болып көрінуі мүмкін, бірақ ең маңыздысы біз

n

-нің мәнін орнына қойып,

n -ші

мүшені дұрыс таба аламыз (өзің үшін басқа формулалардың дұрыстығына көз жеткіз).

Бір прогрессияны сипаттайтын әртүрлі n-ші мүшесінің формулалары эквивалентті формулалар деп аталады.

Жиі жіберілетін қателіктер

Арифметикалық прогрессияның әртүрлі эквивалентті формулалары болуы мүмкін, бірақ тек жалпы түрдегі формула ғана бізге алғашқы мүшесі мен прогрессияның айырымын бере алатынын есте сақтаған дұрыс.

Мысалы,