Кері функцияларға кіріспе

Кері функция - берілген функцияға тән тәуелділікті кері өрнектейтін функция.

Мысалы, мұнда біз $f$f функциясы $1$1-ді $x$x-ке, $2$2-ні $z$z-ке түрлендіретінін көреміз.

$f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript функциясы $f$f-ке кері функция және ол бұл суретті кері өзгертеді. $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript функциясы $x$x-ті $1$1-ге, $y$y-ті $3$3-ке және $z$z-ті $2$2-ге түрлендіреді.

Жалпы айтқанда, егер $f$f функциясын $a$a-ны $b$b-ға түрлендірсе , онда оның кері функциясы, $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript, $b$b-ны $a$a-ға түрлендіреді.

Бұл кері функцияның жалпылама анықтамасы.

Төмендегі мысалдар арқылы кері функцияның анықтамасына тереңірек үңілейік.

$h$h функциясын диаграмма арқылы қарастырайық. $h^{-1}(9)$h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis функциясы неге тең?

Бізге $h$h функциясы туралы ақпарат берілген және біз $h^{-1}$h, start superscript, minus, 1, end superscript функциясы туралы сұраққа жауап беруіміз керек. Кері функция мәндерді кері өзгертетіндіктен, біз де кері бағытта ойлауымыз керек.

Нақтырақ айтқанда, $h^{-1}(9)$h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis функциясының мәнін табу үшін біз мәні $9$9 болатындай $h$h функциясына енгізілген айнымалыны таба аламыз. Себебі, егер $h^{-1}(9)=x$h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, x, онда кері функцияның анықтамасы бойынша, $h(x)=9$h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 9.

Диаграммадан біз $h(6)=9$h, left parenthesis, 6, right parenthesis, equals, 9 екенін көре аламыз, сондықтан $h^{-1}(9)=6$h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, 6.

Бұл $g$g функциясының графигінен $g^{-1}(-7)$g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis функциясының мәнін тауып көрейік.

$g^{-1}(-7)$g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis функциясының мәнін табу үшін біз мәні $-7$minus, 7-ге тең болатындай $g$g функциясына енгізілген айнымалыны таба аламыз. Себебі, егер $g^{-1}(-7)=x$g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, x болса, онда кері функцияның анықтамасы бойынша, $g(x)=-7$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 7.

График арқылы біз $g(-3)=-7$g, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 7 екенін көре аламыз.

Сондықтан $g^{-1}(-7)=-3$g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, minus, 3.

Жоғарыдағы мысалдар кері функцияның алгебралық байланысын көрсетеді, бірақ олардың графиктік байланысын құрастыруға да болады.

Графикте және кестеде берілген $f$f функциясын қарастырайық.

$f$f функциясының айнымалылары мен мәндерін ауыстыру арқылы $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript функциясының мәндері мен айнымалыларын табуға болады. Сондықтан, егер $(a,b)$left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis нүктесі $y=f(x)$y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis графигінде жатса, онда $(b,a)$left parenthesis, b, comma, a, right parenthesis нүктесі $y=f^{-1}(x)$y, equals, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis графигінде жатады.

Бұл бізге $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript функциясының төменде көрсетілгендей графигі мен кестесін береді.

График пен кестені бірге қарастырсақ, біз $y=f(x)$y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis және $y=f^{-1}(x)$y, equals, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis функциялары бір-бірінің $y=x$y, equals, x осіндегі шағылысуынан пайда болатынын көреміз.

Бұл барлық мысалдар үшін орындалады; кері функция негізгі функцияның $y=x$y, equals, x осімен шағылысуы арқылы пайда болады.

Кері функциялар туралы оқуға қызығу негізсіз болып көрінуі мүмкін, бірақ шын мәнінде біз оларды әрдайым қолданамыз.

$C=\dfrac59(F-32)$C, equals, start fraction, 5, divided by, 9, end fraction, left parenthesis, F, minus, 32, right parenthesis функциясы Фаренгейт($F$F) жүйесіндегі температураны Цельсийге($C$C) айналдыруға көмектеседі.

Бірақ, бізге жоғарыдағының кері функциясы – Цельсий шкаласындағы температураны Фаренгейтке айналдыру керек деп елестетейік. Бұл жағдайда бізге $F=\dfrac95C+32$F, equals, start fraction, 9, divided by, 5, end fraction, C, plus, 32 функциясы, басқаша айтқанда кері функция қажет.

Қарапайым сөзбен айтқанда, көптеген теңдеулерді біз "айнымалыларды ықшамдау" арқылы шығарамыз. Айнымалыны оқшаулағанда, оның айналасындағы шамалар өзгеріске ұшырайды. Осылайша, біз кері функция идеясын теңдеулерді шешуге қолданамыз.